Tillämpningar & Pamelas lösning

Ma2c-gänget skulle idag jobba med tillämpningar där man kan behöva exponentialfunktioner och därmed lösa sådana ekvationer med hjälp av logaritmer. Det vi har övat på skulle praktiseras. Jag presenterade vad man måste lära sig och vilka förmågor som utvecklas i samband med det.

På första passet tittade vi på ett par exempel gemensamt. Eleverna ville veta på vilken betygsnivå vi arbetade med de två olika svåra exemplen. Under andra passet fick eleverna träna, ihop eller enskilt.

Pamela kände sig nöjd när hon visade mig den här fina lösningen på ett problem om hur koffeinet i kaffe som tas upp i blodet avtar enligt ett exponentiellt samband, kommer tyvärr inte ihåg uppgiften precis.

Flopp & fräsiga hattar

Ma1a började idag med vårt sista moment, Sannolikheter och Statistik. Jag tänkte vara fiffig och introducera sannolikhetsläran med lite mysig kombinatorik. En presentation (som jag fått av min kollega Karin Landtblom på universitetet) fick hänga med. Vi började med grupparbete och en klassisk fråga:

På hur många sätt kan man placera tre personer på tre stolar?

Eleverna fick arbeta med några olika hjälpmedel: Några åskådliggjorde problemet med hjälp av olikfärgade kuber, några visade med färgglada post-it-lappar, några fick rita med färgpennor och valde att visa i en tabell och några fick fysiskt lösa problemet genom att sitta på stolar och flytta sig.

Intresset var minst sagt lamt, redan från början. De flesta kom fram till svaret "sex". Men när jag ville förmå eleverna att gå runt och titta på varandras olika sätt att presentera samma problem tog det stopp. Endast två elever vågade ställa sig upp och gå fram till en annan grupp för att titta. De andra rörde sig inte ur fläcken. Och de elever som hade suttit på stolar ville absolut inte visa för klassen hur de kunde placera sig.

Total flopp, alltså! Jag tröttnade. Stoppade lektionen, presentationen och alla aktiviteter, gnällde lite på eleverna om att jag inte förstår varför de inte engagerar sig m.m. och bestämde kort och gott att hela momentet ska läras in på det sätt som eleverna i sådana fall föredrar: "Jobba själva med kapitel 6. Prov fredag v. 17", skrev jag på tavlan. Det värsta av allt: Ingen protesterade!

Och jag som hade förberett fler roligheter. Jag hade tagit med diverse snygga hattar och halsdukar för att vi skulle ta reda på vilka olika kombinationer som var möjliga att göra. Här är några förslag:

 Det här är ju ganska snyggt...

På hur många olika sätt kan jag välja en fräsig hatt (alla utom den brandgula är mina och brukar skydda mig mot solsting om somrarna!) och en trevlig halsduk?

Det finns fyra olika hattar och fem olika halsdukar.

Lösningar välkomnas!

Logaritmer & skannade anteckningar

Idag definierade vi begreppet logaritm i kursen Ma2c. Vi började med att titta på grafen till funktionen y=10^x, bilden nedan. Det verkar som om man kan skriva vilket tal som helst som en tiopotens, inte bara 10, 100, 1000 o.s.v.!

Sedan tittade vi på en definition av logaritmen för ett tal y, nämligen den exponent, x, som 10 är upphöjd till för att få just talet y. Vi vände och vred på begreppet en hel del och hann titta på några exempel. Jag skannade in mina egna anteckningar så att du hittar dem här. (Någon vänlig själ får gärna renskriva på dator...)

Exponential- och potensekvationer och mysko film

Nej, den första filmen här nedan blev inte SÅ förstörd, bara lite trist i början; första bilden syns nämligen inte! Nåväl, jag förklarar med ord vad det handlar om och kommer vidare ganska snabbt... orkar inte göra om. Så småningom lär jag mig nog att hantera Explain Everything lite bättre.

I Ma2c-gänget ska vi lära oss använda logaritmer. Därför är den här filmens innehåll en bra grund där jag försöker förklara vilken skillnaden är mellan exponentialekvationer (då vi behöver logaritmer för att kunna lösa!) och potensekvationer (som vi redan kan lösa).

Exemplet med bakterier - Potensekvation (Fler filmer om hur man löser potensekvationer finns här i bloggen i äldre inlägg)

Exemplet med bakterier - Exponentialekvation (OBS! Vi har inte gått igenom teorin kring logaritmer ännu, det är blir en liten "tjuvitt" där ni kan se nyttan med logaritmer i ekvationslösning.)

Vår-gig och nödrim

Skolans lilla glee-club har legat lågt under de mörkaste och kallaste vintermånaderna. Men nu är det dax att tina upp stämbanden och skaka bort istapparna ur håret, för vi måste snart ha ett mini-gig för att hjälpa våren på traven. Denna affisch tänker jag sätta upp överallt på skolan nästa vecka. Det är inte poesi på någon särskilt hög nivå, men (nöd)rim har ju ändå sin plats i sånger och visor, så...

Andragradsekvationer - tre typer av lösningar

Vi har hittat och tittat på tre olika typer av lösningar till andragradsekvationer. Det finns säkert fler sätt att gruppera och sortera både olika typer av ekvationer men också olika typer av lösningar. Så här presenterade jag det för Ma2c-gänget på en lektion. Sedan testade jag att göra en film med appen Explain Everything till iPad. Roligt att prova!

Roligt med symmetri

I Ma1a-gänget har vi roat oss med symmetrier idag. Vi har tittat på fyra typer:

1. reflektionssymmetri (spegling)
2. rotationssymmetri (vridning)
3. translationssymmetri (förflyttning)
4. glidsymmetri (både förflyttning och vridning)

Roligast hade vi när vi själva ritade snygga bilder med hjäp av "symmetry artist" som vi hittade på mathsisfun.com. Här är några av de snygga symmetrier som eleverna gjorde:

Peter

Malin

Frida

Samuel

Jamal

och så här gick det för David och Sebastian på ett online-test:

Utmaning: Kan du ge en korrekt beskrivning av elevernas symmetrier ovan? Försök! Skriv en kommentar.

Andra ekvationer

Nu har vi i Ma2c tittat på ytterligare ekvationer där man kan använda kunskaper om andragradsekvationer för att lösa dem. Ett par exempel som vi löste både grafiskt och algebraiskt:

För att lösa grafiskt skrev vi om ekvationen, med rotuttrycket i vänster led och övrigt i höger led. Vi tolkade dessa som två funktioner och ritade grafer. Skärningspunkten/erna är ekvationens lösning/ar

med algebraisk lösning:

Bilden är gjord med en enkel ritplatta kopplad till datorn (liten Bamboo från Wacom)

och det andra exemplet

För att lösa grafiskt tolkade vi vänster led som en funktion och ritade graf. Höger led är funktionen y=0 och lösningarna till ekvationen är grafens skärningspunkter med x-axeln.

Graferna är ritade i Grapher, mycket lättarbetat!

Vi löste också denna ekvation algebraiskt. Idén är att införa en ny variabel, t.ex. a = x^2 och substituera a i ursprungsekvationen. Då fås en "vanlig" andragradsekvation som man löser. Slutligen substituerar man tillbaka x och löser dessa mini-ekvationer. Det ger fyra lösningar, se grafen.

Räknestuga på gång!

Det är en hel del som händer också på universitetet, jag har inte skrivit speciellt om det på ett tag. I morgon har jag i alla fall en rolig räknestuga med studenter som blir lärare i åk. 1-6. Vi kommer att att repetera lite geometri och statistik, är tanken. Vi får se vad studenterna själva har tänkt... allt kan nämligen ändras om de anser att de har andra behov inför tentamen... Spännande!

Utmaningar, rötter, p och q

Innan sportlovet proppade vi i oss en hel del godsaker med andragradsekvationer och deras lösningar i Ma2c-gänget. Vi tittade på  några olika ekvationer och metoder för att lösa dem på enklaste sätt. Vi härledde också den lösningsformel som brukar kallas "pq-formeln", en ganska mastig portion att sluka precis innan lovet. Mätta släpade vi oss motvilligt hemåt den sista fredagen v. 8...

Nu när vi är pigga och hungriga igen har vi repeterat lite och startat om våra hjärnor. Vi tittade på ett par exempel där man fick tillämpa några av färdigheterna vi har tränat tidigare, t.ex. kvadreringsreglerna.

Ex 1) I en rätvinklig triangel är hypotenusan 4,0 cm längre än den ena kateten. Den andra kateten är 6,0 cm. Vilken omkrets har triangeln?

Dessa utmaningar fick vi ta tag i:
- Förstår vi frågan och uppgiftens innehåll? Vad säger informationen egentligen? Det är flera begrepp vi måste ha bra koll på, t.ex. rätvinklig triangel, katet och hypotenusa.
- Vad vill vi ta reda på? Jo, sidornas längder, d.v.s. den okända kateten och hypotenusan.
- Vilket antagande kan vi göra? Om vi kallar den ena kateten för x, hur vet vi att vi valde "rätt" katet som x? (Detta val spelade ingen roll! Testa själv med en bild och välj x olika!)
- Hur kommer vi framåt? Vilken/vilka beräkningar kan vi göra för att ta reda på x? Jo, vi använder Pythagoras sats och löser en ekvation.
- Har vi rätt förkunskaper? Vi behöver se nyttan med och kunna använda Pythagoras sats och vi behöver kunna utveckla en kvadrat. Vi behöver kunna lösa linjära ekvationer.
- Vilken blir slutsatsen? Svaret? Att knyta ihop säcken är också viktigt. Räcker det att lösa ut x? Nej, kolla frågan igen!

Ex 2) Alma ska sy en duk av ett kvadratiskt tygstycke. Hon syr sedan på ett kantband som är 5 cm brett runt hela duken. Då ökar dukens area med 0,21 m^2. Vilka mått har den färdiga duken?

Här mötte vi också utmaningar, utifrån en problemlösningsstrategi i fyra steg:
- Förstå. Kantband? Arean ökar, vad beror det på? Mått på färdig duk, vad är det? (Sidornas längder på duken!)
- Planera. Vad behöver vi använda för metoder? Vilka beräkningar ska vi göra? Vilka antaganden behöver vi göra? (Rita figurer!) Finns någon ekvation vi kan använda? Vad ska den handla om i sådana fall? (Areor. Duken utan kantband har en area, duken med kantband har en area, kantbandet har en area.)
- Genomför. Utför beräkningarna efter antagandet att tygets sida utan kantband är x cm. Vi tänkte utifrån två bilder: Dels duken utan kantband, en kvadrat med sidan x cm. Dels duken med kantband, en kvadrat med sidan (x+10) cm. Och själva ökningen som är arean på kantbandet.
- Värdera. Formulera svar och kontrollera/bedöm rimligheten med svaret. Här fanns en extra fallgrop: Olika enheter, dels centimeter på kantbandet och dels kvadratmeter på arean.

Vi hann också jobba med en mycket bra gruppaktivitet idag. Utifrån våra lösningar av ett antal andragradsekvationer skrivna på grundformen x^2+px+q=0 kunde vi hitta samband mellan ekvationernas rötter, d.v.s. lösningarna x1 och x2, samt konstanterna p och q. Kolla sammanställningen på tavlan: