Utmaningar, rötter, p och q

Innan sportlovet proppade vi i oss en hel del godsaker med andragradsekvationer och deras lösningar i Ma2c-gänget. Vi tittade på  några olika ekvationer och metoder för att lösa dem på enklaste sätt. Vi härledde också den lösningsformel som brukar kallas "pq-formeln", en ganska mastig portion att sluka precis innan lovet. Mätta släpade vi oss motvilligt hemåt den sista fredagen v. 8...

Nu när vi är pigga och hungriga igen har vi repeterat lite och startat om våra hjärnor. Vi tittade på ett par exempel där man fick tillämpa några av färdigheterna vi har tränat tidigare, t.ex. kvadreringsreglerna.

Ex 1) I en rätvinklig triangel är hypotenusan 4,0 cm längre än den ena kateten. Den andra kateten är 6,0 cm. Vilken omkrets har triangeln?

Dessa utmaningar fick vi ta tag i:
- Förstår vi frågan och uppgiftens innehåll? Vad säger informationen egentligen? Det är flera begrepp vi måste ha bra koll på, t.ex. rätvinklig triangel, katet och hypotenusa.
- Vad vill vi ta reda på? Jo, sidornas längder, d.v.s. den okända kateten och hypotenusan.
- Vilket antagande kan vi göra? Om vi kallar den ena kateten för x, hur vet vi att vi valde "rätt" katet som x? (Detta val spelade ingen roll! Testa själv med en bild och välj x olika!)
- Hur kommer vi framåt? Vilken/vilka beräkningar kan vi göra för att ta reda på x? Jo, vi använder Pythagoras sats och löser en ekvation.
- Har vi rätt förkunskaper? Vi behöver se nyttan med och kunna använda Pythagoras sats och vi behöver kunna utveckla en kvadrat. Vi behöver kunna lösa linjära ekvationer.
- Vilken blir slutsatsen? Svaret? Att knyta ihop säcken är också viktigt. Räcker det att lösa ut x? Nej, kolla frågan igen!

Ex 2) Alma ska sy en duk av ett kvadratiskt tygstycke. Hon syr sedan på ett kantband som är 5 cm brett runt hela duken. Då ökar dukens area med 0,21 m^2. Vilka mått har den färdiga duken?

Här mötte vi också utmaningar, utifrån en problemlösningsstrategi i fyra steg:
- Förstå. Kantband? Arean ökar, vad beror det på? Mått på färdig duk, vad är det? (Sidornas längder på duken!)
- Planera. Vad behöver vi använda för metoder? Vilka beräkningar ska vi göra? Vilka antaganden behöver vi göra? (Rita figurer!) Finns någon ekvation vi kan använda? Vad ska den handla om i sådana fall? (Areor. Duken utan kantband har en area, duken med kantband har en area, kantbandet har en area.)
- Genomför. Utför beräkningarna efter antagandet att tygets sida utan kantband är x cm. Vi tänkte utifrån två bilder: Dels duken utan kantband, en kvadrat med sidan x cm. Dels duken med kantband, en kvadrat med sidan (x+10) cm. Och själva ökningen som är arean på kantbandet.
- Värdera. Formulera svar och kontrollera/bedöm rimligheten med svaret. Här fanns en extra fallgrop: Olika enheter, dels centimeter på kantbandet och dels kvadratmeter på arean.

Vi hann också jobba med en mycket bra gruppaktivitet idag. Utifrån våra lösningar av ett antal andragradsekvationer skrivna på grundformen x^2+px+q=0 kunde vi hitta samband mellan ekvationernas rötter, d.v.s. lösningarna x1 och x2, samt konstanterna p och q. Kolla sammanställningen på tavlan: