Sidor

torsdag, december 12, 2013

Begrepp i geometri

Igår hade jag en förmiddag med MAY I-gänget om geometri. Vi fokuserade på geometriska begrepp, omkrets och area. Varför är begreppsförståelse så viktigt för yngre barn? Hur kan man klassificera olika objekt, t.ex. fyrhörningar? Är en kvadrat också en romb? Hur kan man träna begreppsbildning med barn i åk 1-3? Hur förstår barn omkrets? Och area? Hänger omkrets och area ihop?

Det sista illustrerades med en övning där studenterna i mindre grupper fick varsit snöre, ca 2 m, som var ihopknutet i ändarna. Med snöret skulle de bilda en form som var så stor som möjligt och en som var så liten som möjligt.

Övningen kräver förståelse av begrepp som "stor" och "liten" men också för annat som inte tydligt framgick av instruktionen, att formen skulle vara en tvådimensionell, plan figur. Alla var överens om att vi menade att de skulle forma olika ytor, alltså arean av formen skulle vara stor respektive liten. Redan här krävdes att vi använde begrepp och beskrivningar som alla i gruppen förstod.

Detta är förstås också fallet med resultaten av övningen. Vi måste förstå vad de begrepp som används betyder. Många studenter började med att forma en triangel genom att hålla i snöret i tre punkter. Sedan satte någon dit ytterligare en hand och fick en fyrhörning som var större än triangeln, och därefter ännu en hand som gav en femhörning o.s.v. De flesta gjorde kopplingen till cirkeln automatiskt. För att göra en form som är så liten som möjligt började någon med en supersmal rektangel, någon annan med en triangel där det tredje hörnet nära nog sammanföll med ett av de andra två hörnen som hölls isär. Vi kom in på begrepp som "oändligt" nära/tunn o.s.v.

Förmiddagslektionen var väl förberedd av några kollegor som tidigare hade haft passet, jag behövde bara hänga med och få ta del av den fascinerande matematikvärld som är öppen för barn och lärare i yngre åldrar.

Idag hade vi två timmars räknepass där jag bestämde mig för att vara väldigt flexibel och låta studenterna styra innehållet. Jag var helt enkelt oförberedd - men på ett medvetet sätt, förstås ;-)

Lektionen blev till min glädje mycket bra, enligt studenterna själva. Vi tittade på gamla tentauppgifter och dessutom repeterade vi ganska ordentligt bråkräkning utifrån de fyra räknesätten. Studenterna fick själva förklara för varandra när vi tittade på en uppgift där man skulle känna igen vilken metod för subtraktion som några tänkta elever hade visat i sina lösningar, eftersom jag faktiskt inte kände till "namnen", d.v.s. de korrekta begreppen, för metoderna. "Räkna bakifrån med plus", "Translation" och "Talsorterna för sig" var metoder jag kände igen men inte kunde namnge. Bra att jag fick lära mig idag!

Att begreppsbildning är viktigt för all matematisk kommunikation är uppenbart efter dessa dagar.

Här hamnade vi när vi pratade om parallellogram. Frågan var egentligen "Består alla parallellogram av två (kongruenta, min anm.) trianglar"? Vi omformulerade frågeställningen och hittade dessa:

måndag, december 09, 2013

Algebra tar tid - mönster visar vägen

Vi hade avsatt 3 st 2-timmarsseminarier till algebra i kursen MAY II (Matematik för yngre åldrar, del 2). Det är bara ett problem. Det tar längre tid än så att jobba igenom både matematikinnehållet och några didaktiska frågor inom området. Självklart, tänker du som läser. Och visst är det logiskt att ett område som algebra behöver jobbas igenom ordentligt på en lärarutbildning. Därför har ett av våra pass med rubriken "Räkna inför tentan" fått stryka på foten och ge plats åt mer algebra. 4 st pass ska nog göra susen!

Egentligen skulle jag kunna pressa studenterna igenom innehållet på 6 timmar, det har jag gjort ett par gånger i kursen. Men de senaste två omgångarna har jag inte riktigt "velat" göra det. Istället har jag valt att stanna vid det som jag själv har upplevt som en viktig grund för hur man kan koppla algebra till aritmetik, geometri och andra redan "bekanta" situationer för elever.

Det matematikområde som jag har förstått (genom att hänga med skickliga kollegor och genom att läsa spännande kurslitteratur!) är viktigt att bearbeta ordentligt kan ges rubriken "Mönster". Här kan det handla om mönsterutvecklingar av vitt skilda slag, men det fiffiga är att man har möjlighet att visa på så många uttrycksformer när man jobbar med mönster.


  • Konkret - Det går bygga mönster med hjälp av olika typer av plockmaterial, t.ex. stenar, kottar, blad, klossar, lego, figurer, brickor, post-it-lappar m.m. Yngre elever kan bygga mönster och berätta om sina mönster, de kan byta mönster med varandra och se om en annan elev "ser" och "förstår" det mönster någon byggt. Här kopplar man det konkreta till den språkliga uttrycksformen.
  • Bild/Visuellt/Geometriskt - Från det konkreta mönstret kan man förenkla och rita av ett mönster på papper. Här är det viktigt att inte lägga för mycket kraft på att "rita fint" utan att hellre rita förenklade, stiliserade bilder, t.ex. punkter, streck och rutor, för att symbolisera en mönsterutveckling. Barn som inte är "bra" på att rita ska inte hämmas av denna uttrycksform. Ofta kallas den bildliga versionen av mönstret för "geometriskt", vilket i sig kan vara olyckligt om man blandar ihop begreppet med "geometrisk talföljd", som är en speciell talserie. Istället menar man med "geometrisk uttrycksform" att man ritar en bild av mönsterutvecklingen. Denna bildliga modell ska självklart vara mer tidseffektiv än att bygga mönster med laborativt material. Yngre barn kan på samma sätt som ovan diskutera hur mönstret är uppbyggt, hur nästa figur ser ut och vad som händer i mönstret. Med ord som också kan skrivas ned på papper.
  • Språkligt/Ord - Här är själva idén att man ska kunna beskriva mönsterutvecklingar med ord, som nämnt ovan.
  • Tabell/Strukturerat - Med en tabell kan man också koppla ett mönster som beskrivs konkret eller med bild eller ord. Hur många föremål finns i figur nummer 1, nummer 2, nummer 3 o.s.v. Då får man en tydlig koppling mellan den konkreta eller bildliga uttrycksformen och den symboliska, i detta fall med siffror, beskrivna formen. Mönstret visas som ett talmönster i tabellform, vilket också är mycket tydligt. Ur tabellen kan det sedan bli tydligt hur vissa mönster ser ut generellt, t.ex. aritmetiska talföljder.
  • Symboliskt/abstrakt - Egentligen gillar jag inte termen "abstrakt" eftersom det låter så "otillgängligt". Symboliskt är ju inte alls otillgängligt, snarare tvärtom, eftersom det är ett sätt att beskriva ett visst samband på ett effektivt och generellt sätt som gör att alla (d.v.s. alla som förstår symbolspråket) kan förstå mönstret på ett mycket tids- och platseffektivt sätt. Här vill vi nå en generell uttrycksform som ett algebraiskt uttryck eller en formel. Man kan utgå ifrån bilder, tabeller och/eller ord när man ska försöka formulera mönsterutvecklingen som algebraiskt uttryck. Själv tycker jag att tabeller som "mellansteg" gör kopplingen mycket lätt att se och förstå.
  • Grafiskt/bild - Många mönster låter sig också beskrivas med hjälp av grafer. Jag minns mycket väl att förra årets muntliga nationella prov på gymnasiekurs Ma1c handlade om mönster som visualiserades både som bilder (prickar/tändstickor) och som grafer. Det var ett riktigt bra muntligt prov, tycker jag

I all kurslitteratur tar man upp de här sätten att se på matematikinnehåll med olika uttrycks- eller representationsformer (det finns en skillnad mellan begreppen, det får jag ta upp en annan gång), min översikt här ovan är inte på något sätt allmängiltig eller fullständig. Den ger bara ett exempel.

Vi "bottnade" alltså med en rejäl genomkörare av just "mönster och samband" bara för att jag fått för mig att det är viktigt...

Sedan har vi gått vidare till "funktioner och samband" som vi också jobbat med rätt ordentligt. Varför?

Det känns också rätt viktigt och avgörande, tycker jag. Här får vi den grafiska kopplingen mellan samband som kan visas med ett konkret mönster eller en tabell. Vi jobbade med att tolka grafer, både grafer med och utan gradering på koordinataxlarna, för att ge elever ett sätt att se på samband med andra typer av bilder än just bilder av punkter, stickor eller rutor. Grafer är också effektiva informationsbärare, vilket vi gick igenom med olika exempel. Istället för att bara nöta in hur man prickar in punkter i ett koordinatsystem (metod) behöver våra elever förstå vad grafen visar, vilket innehåll och budskap den bär.

Idag fick studenterna göra en övning som jag gjort med mina gymnasieelever (och även i en tidigare MAY II-kurs, se äldre blogginlägg) där man gruppvis fick i uppgift att matcha en graf, en värdetabell, en funktion i algebraisk form och en beskrivning med ord på rätt sätt. Det var sex olika samband som beskrevs med fyra uttrycksformer, tre samband beskrevs av linjära funktioner, ett av en andragradsfunktion, ett av en tredjegradsfunktion och ett av en exponentialfunktion. Du hittar övningen HÄR. Självklart kan man göra övningen både lättare och svårare för att den ska passa dina elever!

Studenterna kände sig inte helt säkra på flera av funktionstyperna, men de klarade ändå av att lösa uppgiften bra. Min fråga blev därför: Hur gjorde ni? Vilken strategi använde ni? Var började ni? Vilka uttrycksformer kopplade ni ihop först och hur gick ni vidare? Vi fick en intressant diskussion kring vilka möjligheter man har att lösa problem där man inte själv känner sig säker på innehållet. Vi måste förstås låta våra elever möta "det okända" och träna sig på att använda sina kunskaper på nya sätt. Att vara "gatsmarta", helt enkelt.

Vi hann också med att placera post-it-lappar på en helt "tom" graf på tavlan. X-axeln stod för vikt och y-axeln visade pris. På varje post-it-lapp stod en viss vikt och ett visst pris, t.ex. 500 g 16 kr och 2 kg 40 kr. Denna övning går variera hur mycket som helst, t.ex. genom att göra koordinatsystem på golvet med hjälp av maskeringstejp eller snören och jag fick också tips idag av en kollega att man som lärare kan göra i ordning ett koordinatsystem på en presenning och använda utomhus.

Det är klart att algebra tar tid! I morgon lägger vi våra sista två timmar på att titta på kopplingen till ekvationer! Oj, vad kul det ska bli!




måndag, november 18, 2013

Räkneberättelser om tal i andra baser

I MAY II-kurserna har studenterna fått i uppgift att hitta på räkneberättelser som handlar om tal i andra baser. Här är en riktigt spännande historia om Gun och den stora krokodilen. Mycket nöje och stort tack till Malin Andersson och Michaela Ericsson, de studenter som hittat på uppgiften.



söndag, november 17, 2013

Skryt lagom! Eller nåt...

Det är väldigt roligt att undervisa! Och det är extra roligt om de man undervisar också tycker att det är roligt... Som gymnasielärare är jag inte direkt bortskämd med positiv feedback i form av direkta kommentarer kring hur hur givande dagens innehåll varit. Därför blir jag lite rosa om öronsnibbarna varje gång studenterna på SU ger sådan direkt återkoppling som "Å, vad bra du förklarar! Nu förstår jag precis!" eller "Vad intressant det är!" eller bara ett "Tack för idag!". Sanningen att säga så kan jag göra precis samma sak med mina gymnasieelever på t.ex. Vård- eller Barn- och fritidsprogrammet och då somnar de...

Jag inser att motivation är ett viktigt nyckelord. Och jag förstår att jag inte alltid lyckats motivera mina gymnasister... Somligt skyller jag på strukturerna i utbildningssystemet/organisationen; att jag helt enkelt varit tvungen att "trycka eleverna igenom tratten" så att säga. Mitt uppdrag var att undervisa i kursen Ma1a som om eleverna hade rätt förkunskaper. 100 timmar under ett års tid, varken mer eller mindre. Punkt.

Men å andra sidan är jag självkritisk för att jag inte stått upp för eleverna och tagit striden. Mina elever hade verkligen inte alltid rätt förkunskaper. Jag borde ha slagits för dem, sett till att de fått backa bandet och repetera under ett år innan vi startade kursen istället för att låta dem misslyckas under ytterligare ett år i sin utbildning, hur väl jag än tillrättalade undervisningen för att kännas "lättillgänglig". Bland natureleverna var det annorlunda. Där kunde jag trixa och fixa och stötta och peppa på ett helt annat sätt eftersom de hade förkunskaper att bygga vidare på.

Nåväl. För att inte deppa ihop över mina egna tillkortakommanden får jag glädjas åt att då och då få trevliga utvärderingar av studenterna på lärarutbildningarna. Som denna kommentar:


torsdag, oktober 31, 2013

Töntor - igen!

Förra veckan frågade min son: Sitter du med dina töntor nu igen? Numera vet han att han missuppfattat ordet "tentor", men han håller fast vid sitt begrepp och flinar lite finurligt mot mig när han säger det.

Och mycket riktigt har jag spenderat en del tid med bedömningen av de skriftliga prov ("tentamen" verkar vara ett ord som inte längre finns i högskoleförordningen, kontrollera gärna detta!) som studenterna i MAY II-kursen skrivit måndag förra veckan. Studenterna skriver anonymt, med en kod som vi inte avkodar förrän tentabetyget är satt, och jag kan konstatera att det finns ett gäng riktigt, riktigt skärpta blivande grundskollärare som snart kommer att finnas tillgängliga på arbetsmarknaden... undrar bara vilka de är..?

Sedan har jag också ägnat tid åt läsning och bedömning av en examinerande uppgift i "Statistik och sannolikhetslära"-kursen som ges på kvartsfart denna termin. Där har studenterna - som redan är lärare - gjort lektionsplaneringar inom området "kombinatorik och sannolikhetslära" och det har varit otroligt intressant att läsa dessa planeringar. Många fantastiska lektioner kommer att genomföras, minsann!

Snart kommer jag att göra debut som kurslärare i kursen Matematik för yngre åldrar del I (15 hp), MAY I. Kursen riktar sig till blivande lärare i åk 1-3 och jag har därför fått läsa en hel del kurslitteratur för att sätta mig in i matematikinnehåll, strategier, idéer, tankemönster, metoder och sätt att arbeta konkret och vardagsnära med så små barn. Helt otroligt fascinerande! Att vara mattelärare på gymnasiet är förstås roligt, men det verkar också vara väldigt trevligt att få jobba ännu mer konkret, laborativt och verklighetsnära så som man gör med yngre barn. Här skapas de kunskaper som ligger till grund för ALLT fortsatt matematiklärande. Ett oerhört viktigt jobb, alltså! Och det vore bra om vi som arbetar med äldre åldrar har kunskap om vad det är man gör i de yngre åldrarna.

På samma sätt brukar jag vilja att grundskollärarna också lyfter blicken från "sitt" och försöker förstå "Vart är eleverna på väg i sin kunskapsutveckling?" så att det blir tydligt vilken grund som måste läggas i vilka av skolans "stadier".

Lärarfortbildning kanske inte skulle vara krångligare än att högstadie- och gymnasielärare besöker förskola, låg- och mellanstadium och tvärt om? Verkligen besöker, d.v.s. gör några återkommande auskultationer/observationer och uppföljande samtal med lärare så att man får en tydlig bild av hur undervisning, bedömning och återkoppling sker... men det kanske man redan gör ute i kommunerna..?

torsdag, oktober 24, 2013

Egen muntlig examination - Puh!

Jag går en kurs. Själv. Det är väldigt läskigt, eftersom jag inte har studerat sedan... 1996! Kursen heter Matematikens didaktik I och den handlar om matematikdidaktisk forskning. Idag hade vi muntlig examination och hade fått i uppgift att läsa varsin avhandling som vi skulle presentera på 10 minuter. Vi skulle besvara frågor om forskningsfrågor, metod och teoretiska utgångspunkter och vi skulle läsa avhandlingarna kritiskt och diskutera huruvida avhandlingarna besvarar sina forskningsfrågor eller ej.

Jag var först ut i min grupp och det visade sig att 10 minuter var svårt att hålla sig till. Jag fick verkligen begränsa mig och tyckte att jag inte alls hann genomföra presentationen ordentligt. Till stöd hade jag gjort en enkel Prezi. Bilderna i den är förstås mina egna, likaså alla ev. missuppfattningar och fel... Jag hade läst Eva Taflins avhandling "Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande", riktigt intressant och direkt användbar för alla mattelärare!


onsdag, september 25, 2013

Sympatiskt med symmetrier

Vi hade en lektion med rubriken "Avbildningsgeometri" i May II-gruppen och sysslade egentligen med symmetrier i geometrin. Intressant och roligt, tycker jag. Hoppas att studenterna också gillade det! Vi utgick ifrån denna enkla presentation i kombination med exempel på tavlan, diskussioner och praktiska klipp/rit-exempel.

En reflektion vid passet var att man ofta enbart tänker på spegelsymmetrier när man pratar om symmetrier, vilket vi lade märke till i vissa uppgifter ur läromedel, t.ex. Diamant-materialet som Skolverket gett ut (länk i presentationen). Det är lätt att glömma vridning (rotation) och förskjutning (translation), som också är sympatiska symmetrioperationer.

Här är en bild som ska visa hur man kan jobba med spegelsymmetri konkret: Rita, klipp och vik ut!


fredag, september 13, 2013

Smarta sätt att dela med sig

Det finns ju så många fiffiga sätt att dela med sig av bra saker man gör på sin dator. Google-docs är förstås ett sådant sätt som jag använder dagligen.

Men att spara dokument gjorda i något annat program i en Dropbox är också väldigt bra. Man kan dela enskilda filer men också hela mappar (och antagligen en hel dropbox, gissar jag...) På jobbet är vi några kollegor som har delat vissa mappar i våra dropboxar med varandra och det underlättar väldigt mycket att man kan uppdatera dokument utan att - som förr - behöva mejla allt fram och åter så snart någon ändring är gjord. Gissa hur många mejl det blir om fyra kurslärare ska lägga in sina pass i en schemamall och "meddela" varandra..! Man drunknar i mejl innan kursstart, kan jag lova!

Just nu har jag lite olika saker i min dropbox, både privata dokument som CV och sånt, men allra mest jobbgrejer som uppgifter, presentationer och annat som jag ofta använder ihop med kollegor. Testa, vettja! (Och skaffar du dropbox genom "min" länk får jag dessutom mer lagringsutrymme i min, vilket inte är helt fel..!)

tisdag, september 10, 2013

Bättre taluppfattning med binära tal

I ett par kurser, bl.a. i MAY II, har vi tittat lite närmare på vårt eget talsystem och tal i andra baser.

Varför? Redan i åk. 4-6 introduceras binära tal och talsystem som använts tidigare i historien och i gymnasiekurserna Ma1b och Ma1c finns också tal i andra baser med i det centrala innehållet.

Varför? Förutom att det är väldigt roligt (som det mesta i matematikämnet!) så är det en riktigt bra och väldigt viktig del i fördjupad förståelse för vårt egna talsystem, det decimala, som precis som det binära talsystemet är ett positionssystem som bygger på potenser. Man får en bättre taluppfattning, kort och gott.

Sedan tidigare har jag lagt upp en mattefilm med tips på hur man kan räkna med binära tal på fingrarna, se nedan, och nu har jag också några blandade övningar och en rolig räkneberättelse (som jag hittade hos en mycket omtyckt pensionerad lärare på SU) att komplettera med.

Dagens seminarium i en annan kurs med matematikdidaktik för blivande lärare i åk. 7-9 + gymnasiet fick också en liten portion tal i andra baser som exempel på matematikinnehåll där man rätt ofta behöver tillämpa metodförmåga/procedurförmåga. Främst diskuterade vi dock lärarens uppdrag och den del i lärarens jobb som handlar om att planera lektioner. Titta gärna i presentationen där en hel del av innehållet kan ses som ett slags diskussionsunderlag och inte som en vedertagen "sanning".





onsdag, september 04, 2013

Mer om negativa tal

Det finns alltså många intressanta frågeställningar kring arbete med negativa tal. Här har jag helt fräckt "uppdaterat" en uppgift som jag fått på papper av Karin Landtblom.

tisdag, september 03, 2013

Positivt med negativa tal

Det är positivt med negativa tal! Positivt i den meningen att det finns gott om utmaningar kring hur man kan tänka, förstå och förenkla sitt arbete då det dyker upp negativa tal. Idag hängde jag med min kollega Karin Landtblom på seminarium för blivande lärare i högstadiet/gymnasiet där en hel del tankar kom upp kring hur man kan undervisa om just negativa tal. 

I kursen använder vi några riktigt bra texter i ämnet, exempelvis ett par artiklar av Ingvar O Persson: Om negativa tal samt Två tänkbara modeller för undervisning om negativa tal, båda artiklarna har publicerats i Nämnaren och hittas via NCM:s hemsida. Cecilia Kilhamns avhandling Making sense of negative numbers är också mycket bra och innehåller en tydlig översikt över olika förklaringsmodellers för- och nackdelar (kapitel 8 ger en bra överblick för den som är lat!).

Själva har både Karin och jag sedan tidigare spelat in några filmer i ämnet, mina finns här i bloggen, här är en introduktion, men kolla också på Karins film om negativa tal.

Med utgångspunkt i en av metoderna att förstå subtraktion av negativa tal totade jag ihop detta dokument idag, med tips på hur man kan tänka, under diskussionen på seminariet. 

Positivt, eller hur?

måndag, september 02, 2013

Kursstart och rara studenter

Idag startade kurserna på SU! Jag höll i kursintroduktionen för höstens första grupp i kursen MAY II, Matematik för yngre åldrar, del II. Kursen ges första halvan av terminen, sedan går en likadan kursomgång under andra halvan av terminen. Det kommer att bli en mycket bra kursomgång; studenterna var nämligen mycket engagerade, öppna och väldigt rara. Det är konstigt, men det verkar som om studenter på universitet alltid är på det sättet... hmmm...

Studenterna hann också komma igång med lite repetition av egna färdigheter i matematik i form av några uppgifter som jag tagit från gamla ämnesprov i åk. 9. Nästa vecka återkopplar vi till uppgifterna som de idag jobbade med i studiegrupper efter seminariet.

Här är den enkla presentationen (en kopia, utan studenternas namn) som jag använde idag, länk finns till de nämnda uppgifterna.

torsdag, augusti 22, 2013

Blir något någonsin färdigt..?

Under flera dagar har jag lagt någon timme här och där på att pilla med en presentation - visserligen fantastisk sådan - som ska användas av två kollegor och mig själv under vår kommande distanskurs i sannolikhetslära och statistik för grundskollärare i höst. Förarbetet var redan gjort av manusförfattaren och kollegan Karin Landtblom, men jag lovade att fixa till den så att vi kunde använda halva träffen till sannolikheter och halva till statistik.

Men oj vad det är svårt att "klippa ner" och "baka ihop" sådant innehåll som är så roligt, viktigt och samtidigt så omfattande! Jag blev aldrig färdig, helt enkelt. Men nu har jag lagt den i vår delade Dropbox och bett kollegorna granska... Jag misstänker att det blir fram med stora saxen, men... Så småningom kommer nog åhörarkopior här i bloggen (behöver kolla om upphovsregler och sådant, nu när jag jobbar på SU!).


onsdag, augusti 14, 2013

Seriöst och upphovsrätt

Chattade precis med en gammal "ungdomsvän" och insåg att vi båda har kvar samma, gamla humor. Alltså kan skoja om vad som helst. Tramsa. Tokprata. Och inte alltid vara så seriösa.

Samtidigt fixar jag med uppdaterad version av en presentation om kombinatorik och sannolikheter, vilket är ett mycket viktigt och därmed seriöst innehåll i matematiken, redan från tidiga skolår. Den här bilden kan passa till uppgiften: På hur många sätt kan man placera fem personer på fem stolar?


Det första intrycket av bilden är väl att det inte är speciellt seriöst att fota sig själv med diverse effekter för att symbolisera olika personer. Men den som tvivlar på min seriositet glömmer det självklara: Om jag använder MINA bilder så har jag garanterat inte brutit mot någon typ av upphovsrätt. Och DET är riktigt seriöst! (Stolarna är hämtade ur Notebook-programmet, men jag planerar att byta ut dem mot egna foton, vänta bara.)

tisdag, augusti 13, 2013

Nygammalt jobb!

Nu är jag igång på det nya, men årsgamla, jobbet på universitetet och institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik, MND.

Det nya för läsåret är att jag får chans att jobba heltid och kan därmed fokusera helt på de kurser jag undervisar i på ett annat sätt än vad som är möjligt när man har två olika jobb på deltid. Det känns bra. Nackdelen är förstås att jag har behövt skiljas ifrån mina gymnasieelever och alla kollegor på mitt andra jobb, som den gymnasielärare jag faktiskt är.

Det gamla i detta nya är att jag jobbade två dagar per vecka på MND förra året och hann vara med och undervisa i flera olika kurser (se tidigare inlägg i bloggen). Så nu är jag lite varm i kläderna, vilket känns tryggt när jag nu drar på med heltid. Det som är roligast med jobbet på MND är att jag får möta så många nyfikna, intresserade och kloka blivande lärare. Jag har också fått massor med nya kollegor som alla brinner för lärande och utveckling inom matematik.

Jag fortsätter att lägga upp tips, tankar och reflektioner här i bloggen. Förhoppningsvis hinner jag göra en och annan film också i år... då hamnar dessa här.

måndag, juni 03, 2013

Bedömning

Nu håller jag på att slutgiltigt bedöma alla de underlag jag har samlat på mig i olika kurser för olika elev- och studentgrupper.

Vad gäller mina gymnasieelever så har de under kursernas gång hunnit ha några prov, flera gruppuppgifter, massor av enskilda uppgifter och ett nationellt prov. Mycket av underlaget har jag förstås samlat in på lektionerna och noterat i både hjärnan och google-dokument. Så nu ska allt det jag sett av elevernas kunskapsutveckling samlas till något så litet och fjuttigt som en enda bokstav. Nåja, så är det med den summativa delen av bedömningsarbetet. Det formativa är redan gjort, i form av dagligt arbete tillsammans: vi har diskuterat kunskapskvaliteter, jag har skrivit framåtsyftande kommentarer med tips på förbättringar i prov och uppgifter och eleverna har gett varandra återkoppling på redovisningar.

På universitetet bedömer jag just nu inlämnade rapporter och tentor. Det är också en summativ fas. Den formativa bedömningen har skett under kursens gång, oftast skriftligt som kommentarer på inlämnade uppgifter, enskilt eller i grupp. Även kamratbedömning har ingått. Man träffas mer sällan och har därmed inte samma möjlighet att ge muntlig formativ återkoppling till var och en. Det blir snarare "allmänt" i klassrummet när någon diskussion blommar upp och vi kan vända och vrida på de frågor som väcks. En typ av "generell formativ återkoppling" som alla kan ta till sig.

Därför ligger jag lågt med filmer, tips och beskrivningar av lektionsarbete under dessa sista, skälvande veckor på terminen. Istället ska jag fortsätta läsa och bedöma. Och förbereda en sång till studenterna! Tjing på ett tag!


torsdag, maj 23, 2013

Lurigt med ståltråd runt en cylinder

I tisdags på SU fick jag en fråga om en cylinder med en ståltråd virad runt om. På lektionen blev det inte alls rätt, fastän idén inte var tokig. Som tur är fick jag tips från en student som tagit sig tid att tänka till. Så nu finns en liten film med den "rätta" lösningen. Håll tillgodo med ordsnubblande och upprepningar, som vanligt tar jag mig inte tid att öva...


måndag, maj 20, 2013

Algebra - Färgglad repetition

En kort google-presentation som stöd för morgondagens seminarium på SU finns här. Innehåller länkar till övningar och egna exempel. Det finns roliga teman att välja bland... jag kan inte låta bli att prova dem! Här är en riktigt färgglad:


söndag, maj 19, 2013

Funktioner - Representationsformer

Tidigare i vår gjorde Ma2c-gänget en mycket uppskattad aktivitet som gick ut på att matcha några funktioner med deras respektive värdetabeller, hur de beskrivs med ord och med deras rätta grafer. Eftersom uppgiften var hämtad ur en lärobok kunde jag ju inte lägga upp den här trots att den var väldigt bra. Nu har jag gjort en egen, liknande men inte lika snygg övning, som jag kanske ska använda på tisdag då studenterna på MAYII och jag ska ha ett seminarium med algebrarepetition tillsammans.

Övningen hittar ni här och jag är helt säker på att något litet (eller stort!) fel har smugit sig in eftersom den inte tog så värst lång tid (en timme sisådär) att sno ihop med hjälp av Google dokument och kalkylark, Grapher samt Skärmavbildnings-funktionen på datorn.

Min plan är att göra en ny liknande övning där det bara ingår sådana samband som också kan beskrivas med en bild av ett mönster, t.ex. aritmetiska serier och kvadrattal, för att klämma in ytterligare en representationsform.

torsdag, maj 16, 2013

Geometrifilm - Liksidiga trianglar & okänd vinkel

En student frågade mig om en uppgift han hittat någonstans, ev. en Känguru-uppgift, som jag inte hann med att lösa under dagen. Istället passade jag på att göra en liten film nu efter middgen. Här är den:


tisdag, maj 07, 2013

Geometrifilm - Bas och höjd i triangel

Jag fortsätter att testa hur det blir när man spelar in film i Educreations. Här är en i geometri:


måndag, maj 06, 2013

Motsatta operationer

Hjärtligt grupparbete på natur

Det finns faktiskt riktigt bra aktiviteter i läroböckerna numera. Idag arbetade natureleverna med en sådan aktivitet under rubriken "Tema: Hjärtinfarkt och statistik" ur Natur och Kulturs lärobok Matematik 5000 2c. Aktiviteten innehöll ganska många nya begrepp - som percentil, kumulerad frekvens och summapolygon - därför gick vi gemensamt igenom all teori och de givna exemplen ganska noga innan arbetet kom igång. Flera elever tyckte att de inte "fattade" och att det var "svårt". Med viss oro satte jag ändå igång arbetet.

Eleverna blev indelade i tre grupper med tre elever i varje som ansvarade för att lösa varsin större uppgift. Efter lunchrasten fick eleverna i tvärgrupper redovisa sina uppgifter. Det gick riktigt bra. Under första passet fick eleverna gemensamt lösa uppgiften och se till att alla i gruppen också hade full koll på lösningen. Vid tvärgruppredovisningen kunde jag tydligt se att eleverna verkligen ansträngde sig för att förklara för varandra. Det där "ansvaret" ger en extra knuff... något att ta fasta på vid andra tillfällen och i andra arbetsformer.

Heart surgery at the Clinical CenterBy National Institutes of Health Library

söndag, maj 05, 2013

Avbildningsgeometri - viktig grund

På tisdag har jag ett seminarium med rubriken Avbildningsgeometri på "unnit" (mitt och barnens smeknamn på "universitetet"). Det kommer att bli intressant, det finns så mycket roligt man kan arbeta med konkret i skolan. Som underlag för seminariet har jag denna presentation. Utöver innehållet kommer vi att titta på några konkreta exempel på arbetsuppgifter som kan passa för för åk 4-6 och diskutera nyttan med detta lite "bortglömda" men superviktiga geometriavsnitt. Att förstå symmetrier är grundläggande för hur man förstår viktiga begrepp, t.ex. kongruens och likformighet.

Bilderna ritade jag snabbt och enkelt med en liten Bamboo ritplatta till datorn och gratisprogrammet Paintbrush.

måndag, april 29, 2013

Tal i andra baser

I morgon håller jag i seminariet Talsystem och tal i andra baser på SU/MND. Det ska bli väldigt roligt, jag gillar verkligen innehållet. Och extra spännande är det att tänka på hur viktigt det är att grundskolan verkligen arbetar med att bredda och fördjupa barns taluppfattning genom att också introducera "historiska" talsystem och det binära talsystemet redan i åk 4-6. Jag har förberett några övningsuppgifter till studenterna. Här finns övningarna, ren och skär färdighetsträning på sådana talsystem som bygger på positionssystem. Med länktips till några genomgångar.

GeoGebra på webben

I samband med Ma2c-redovisningarna tvingades jag testa GeoGebra lite mer. Min man visade att det finns en GeoGebra-app att ladda ner i Chrome Web Store. Sagt och gjort. Det innebär att man kan göra simuleringarna på webben och spara i sin Google Drive. Trevligt!

Jag testade att göra en enkel "sak" där jag vill visa att om två tangenter till en cirkel skär varandra i en punkt (D) så kommer avstånden från denna skärningspunkt till respektive tangeringspunkt på cirkeln (BD resp. CD) att vara lika stora. Detta visas enkelt genom att man ritar en ny cirkel i skärningspunkten (D) och ser att den nya cirkeln också går igenom båda tangeringspunkterna (B resp. C), avståndet är den nya cirkelns radie. Titta gärna på min "test"-simulering, den finns här.

Min man gjorde en annan simulering för att lösa en provuppgift som hörde ihop med min "sak". Här är den.

En bild av mitt försök:



fredag, april 26, 2013

Fantastiska elever som vågar redovisa

Alla i gruppen hann förstås inte redovisa sin uppgift idag. Trots att vi har två timmar matte. Nåväl, vi fortsätter på måndag... Några elever hann ändå redovisa idag. Det var mer eller mindre väl förberett, får jag erkänna. Men det var ändå fantastiskt. Mina elever är fullkomligt orädda. De vågar ställa sig framför klassen och rita och visa sin lösning, även om det inte blir helt rätt. Väldigt coolt. Så modig har jag aldrig varit och kommer aldrig att bli. Tänk hur bra det skulle kunna bli om de dessutom kom förberedda till redovisningen..!

Vi fick ändå några riktigt bra och väl förberedda redovisningar. Här är ett exempel:

"I den rätvinkliga triangeln ABC ligger hypotenusans ändpunkter i A=(1, 3) och i B=(-4, -2). Bestäm koordinaterna för hörnet C om det ligger på linjen y=3-x."

Uppgiften innebar en lösning i flera steg. Så här gjorde eleven, jag kallar henne "S":

  • Utan att tveka ritade S upp koordinatsystemet och markerade A och B. 
  • S plockade fram ett par punkter på linjen och ritade därefter in linjen y=3-x i koordinatsystemet
  • S skrev upp avståndsformeln på tavlan och visade att hon med hjälp av Pythagoras sats fick ekvationen som ni ser på bilden nedan. 
  • S förenklade och utvecklade med säkerhet och utan att titta i sitt manus. 





  • S skrev upp formeln för andragradsekvationens lösningar som hon kunde utantill och tillämpade den utan att tveka.
  • S hittade de två möjliga punkterna.




Rätt festligt, eller hur? Jag kunde bara inte låta bli att krama om S innan vi skiljdes åt, så glad blev jag!

torsdag, april 25, 2013

Muntlig redovisning av hemprov

Ma2c-gänget fick hemprov i fredags. Lösningarna ska lämnas in i morgon, fredag. Ja, vem som helst kan ju ha hjälpt eleverna till perfekta lösningar, tänker ni. Vad mäter provresultatet då? Visst, svarar jag, det är bara bra om eleverna fått hjälp. Det bästa bedömningsunderlaget får jag från den muntliga redovisningen av en provuppgift som jag (slumpmässigt) väljer på lektionen i morgon. Eleven får själv välja om uppgiften ska komma ifrån "Uppgifter som i stor utsträckning prövar kunskapskraven på E-C-nivå" eller "Uppgifter som ... C-A-nivå". Vid den muntliga redovisningen ska vi också genomföra en enkel form av kamratbedömning, är min plan. Främst ska kommunikationsförmågan bedömas enligt principen "two stars and a wish". Här är mallen som vi ska prova använda. Hoppas att allt går bra!

måndag, april 22, 2013

Grupparbete i Statistik

Idag introducerade vi det sista momentet i Ma2c-kursen, Statistik. Det är alltid kul. Då avsnittet innehöll ganska många begrepp och definitioner (observation, population, stickprov, felkällor m.m.) fick eleverna jobba gruppvis, 3 eller 4 elever, och ansvara för varsit delområde inom avsnittet Statistiska metoder. Uppgiften gick ut på att eleverna fick läsa igenom och diskutera innehållet, lösa någon uppgift och kanske söka på Internet för att hitta kompletterande och förtydligande information. Slutligen redovisade grupperna muntligt för varandra, de flesta gjorde någon typ av presentation som stöd. Rubrikerna var hämtade ur läroboken för enkelhets skull och jag gick runt och stöttade under arbetets gång då det behövdes.

Det intressanta var att jag fick se eleverna ur ett lite annat perspektiv. Den som vanligtvis är ganska säker på matematikinnehåll och procedurer för att lösa uppgifter kanske inte kände sig lika säker i situationen där läraren inte hade gått igenom först, utan där man förväntades arbeta tillsammans med ett helt nytt innehåll och nya begrepp. Och tvärtom. Den som oftare känner osäkerhet inför t.ex. svåra ekvationer och problemlösning kanske kunde ta ett större ansvar i gruppen när det gällde att läsa om och förklara begrepp inom statistik samt redovisa muntligt för klassen.

Det är nyttigt att göra olika saker, helt enkelt. Och visst kunde jag ha förberett uppgiften bättre och tagit fram utvärderingsbara mål och någon modell för kunskapsbedömning, men idag handlade det mer om att använda andra arbetssätt, i detta fall självständigt arbete i grupper. Vi diskuterar på onsdag.


Titta på Anders Gustafssons film om felmarginal m.m., en rejäl genomgång i ämnet!


onsdag, april 10, 2013

Skapa diagram i kalkylblad

Idag skapade vi diagram i kalkylblad i Ma1a-gruppen. Eleverna använde kalkylark i Google och delade sina dokument med mig. Det är väldigt praktiskt, både för att det går fort att skapa fina diagram - i förhållande till om man ritar för hand - och för att jag kan ge omedelbar återkoppling till eleverna i de delade dokumenten.

Jag skulle visa klassen att vi naturligtvis också kan göra diagram i Numbers, minst lika bra. Men då hittade jag inte funktionen som gör att vanliga tal behandlas som text. Datorn vill gärna hantera talen som t.ex. datum om de skrivs på ett viss sätt. När jag skrev in 1-2 i en ruta tolkades detta som 2 januari 2013. Inte så lyckat i vårt exempel med antal timmar som en elev ägnar vid datorn varje dag... Med lite hjälp (tack, käre make!) fann jag nyss den sökta funktionen:

På lektionen löste vi problemet ändå. Vi skrev helt enkelt in text i stället för tal, se urklippet ovan... Nåväl, nu vet vi hur man gör i fortsättningen!

måndag, april 08, 2013

Hur hjälper man sitt barn med matten?

Många föräldrar undrar nog. Speciellt på högstadiet eller i gymnasiet när föräldrarna känner att de själva inte har full koll på matematikinnehållet. Visst går det hjälpa sina barn ändå! Jag har några tips här.

onsdag, mars 20, 2013

Tillämpningar & Pamelas lösning

Ma2c-gänget skulle idag jobba med tillämpningar där man kan behöva exponentialfunktioner och därmed lösa sådana ekvationer med hjälp av logaritmer. Det vi har övat på skulle praktiseras. Jag presenterade vad man måste lära sig och vilka förmågor som utvecklas i samband med det.


På första passet tittade vi på ett par exempel gemensamt. Eleverna ville veta på vilken betygsnivå vi arbetade med de två olika svåra exemplen. Under andra passet fick eleverna träna, ihop eller enskilt.

Pamela kände sig nöjd när hon visade mig den här fina lösningen på ett problem om hur koffeinet i kaffe som tas upp i blodet avtar enligt ett exponentiellt samband, kommer tyvärr inte ihåg uppgiften precis.


Flopp & fräsiga hattar

Ma1a började idag med vårt sista moment, Sannolikheter och Statistik. Jag tänkte vara fiffig och introducera sannolikhetsläran med lite mysig kombinatorik. En presentation (som jag fått av min kollega Karin Landtblom på universitetet) fick hänga med. Vi började med grupparbete och en klassisk fråga:

På hur många sätt kan man placera tre personer på tre stolar?

Eleverna fick arbeta med några olika hjälpmedel: Några åskådliggjorde problemet med hjälp av olikfärgade kuber, några visade med färgglada post-it-lappar, några fick rita med färgpennor och valde att visa i en tabell och några fick fysiskt lösa problemet genom att sitta på stolar och flytta sig.

Intresset var minst sagt lamt, redan från början. De flesta kom fram till svaret "sex". Men när jag ville förmå eleverna att gå runt och titta på varandras olika sätt att presentera samma problem tog det stopp. Endast två elever vågade ställa sig upp och gå fram till en annan grupp för att titta. De andra rörde sig inte ur fläcken. Och de elever som hade suttit på stolar ville absolut inte visa för klassen hur de kunde placera sig.

Total flopp, alltså! Jag tröttnade. Stoppade lektionen, presentationen och alla aktiviteter, gnällde lite på eleverna om att jag inte förstår varför de inte engagerar sig m.m. och bestämde kort och gott att hela momentet ska läras in på det sätt som eleverna i sådana fall föredrar: "Jobba själva med kapitel 6. Prov fredag v. 17", skrev jag på tavlan. Det värsta av allt: Ingen protesterade!

Och jag som hade förberett fler roligheter. Jag hade tagit med diverse snygga hattar och halsdukar för att vi skulle ta reda på vilka olika kombinationer som var möjliga att göra. Här är några förslag:

 Det här är ju ganska snyggt...

På hur många olika sätt kan jag välja en fräsig hatt (alla utom den brandgula är mina och brukar skydda mig mot solsting om somrarna!) och en trevlig halsduk?

Det finns fyra olika hattar och fem olika halsdukar.

Lösningar välkomnas!

fredag, mars 15, 2013

Logaritmer & skannade anteckningar

Idag definierade vi begreppet logaritm i kursen Ma2c. Vi började med att titta på grafen till funktionen y=10^x, bilden nedan. Det verkar som om man kan skriva vilket tal som helst som en tiopotens, inte bara 10, 100, 1000 o.s.v.!

Sedan tittade vi på en definition av logaritmen för ett tal y, nämligen den exponent, x, som 10 är upphöjd till för att få just talet y. Vi vände och vred på begreppet en hel del och hann titta på några exempel. Jag skannade in mina egna anteckningar så att du hittar dem här. (Någon vänlig själ får gärna renskriva på dator...)


torsdag, mars 14, 2013

Exponential- och potensekvationer och mysko film

Nej, den första filmen här nedan blev inte SÅ förstörd, bara lite trist i början; första bilden syns nämligen inte! Nåväl, jag förklarar med ord vad det handlar om och kommer vidare ganska snabbt... orkar inte göra om. Så småningom lär jag mig nog att hantera Explain Everything lite bättre.

I Ma2c-gänget ska vi lära oss använda logaritmer. Därför är den här filmens innehåll en bra grund där jag försöker förklara vilken skillnaden är mellan exponentialekvationer (då vi behöver logaritmer för att kunna lösa!) och potensekvationer (som vi redan kan lösa).


Exemplet med bakterier - Potensekvation (Fler filmer om hur man löser potensekvationer finns här i bloggen i äldre inlägg)


Exemplet med bakterier - Exponentialekvation (OBS! Vi har inte gått igenom teorin kring logaritmer ännu, det är blir en liten "tjuvitt" där ni kan se nyttan med logaritmer i ekvationslösning.)



onsdag, mars 13, 2013

Vår-gig och nödrim

Skolans lilla glee-club har legat lågt under de mörkaste och kallaste vintermånaderna. Men nu är det dax att tina upp stämbanden och skaka bort istapparna ur håret, för vi måste snart ha ett mini-gig för att hjälpa våren på traven. Denna affisch tänker jag sätta upp överallt på skolan nästa vecka. Det är inte poesi på någon särskilt hög nivå, men (nöd)rim har ju ändå sin plats i sånger och visor, så...


tisdag, mars 12, 2013

Andragradsekvationer - tre typer av lösningar

Vi har hittat och tittat på tre olika typer av lösningar till andragradsekvationer. Det finns säkert fler sätt att gruppera och sortera både olika typer av ekvationer men också olika typer av lösningar. Så här presenterade jag det för Ma2c-gänget på en lektion. Sedan testade jag att göra en film med appen Explain Everything till iPad. Roligt att prova!


fredag, mars 08, 2013

Roligt med symmetri

I Ma1a-gänget har vi roat oss med symmetrier idag. Vi har tittat på fyra typer:

  1. reflektionssymmetri (spegling)
  2. rotationssymmetri (vridning)
  3. translationssymmetri (förflyttning)
  4. glidsymmetri (både förflyttning och vridning)


Roligast hade vi när vi själva ritade snygga bilder med hjäp av "symmetry artist" som vi hittade på mathsisfun.com. Här är några av de snygga symmetrier som eleverna gjorde:

Peter

Malin

Frida

Samuel

Jamal

och så här gick det för David och Sebastian på ett online-test:


Utmaning: Kan du ge en korrekt beskrivning av elevernas symmetrier ovan? Försök! Skriv en kommentar.

onsdag, mars 06, 2013

Andra ekvationer

Nu har vi i Ma2c tittat på ytterligare ekvationer där man kan använda kunskaper om andragradsekvationer för att lösa dem. Ett par exempel som vi löste både grafiskt och algebraiskt:

För att lösa grafiskt skrev vi om ekvationen, med rotuttrycket i vänster led och övrigt i höger led. Vi tolkade dessa som två funktioner och ritade grafer. Skärningspunkten/erna är ekvationens lösning/ar





med algebraisk lösning:

Bilden är gjord med en enkel ritplatta kopplad till datorn (liten Bamboo från Wacom)

och det andra exemplet

För att lösa grafiskt tolkade vi vänster led som en funktion och ritade graf. Höger led är funktionen y=0 och lösningarna till ekvationen är grafens skärningspunkter med x-axeln.

Graferna är ritade i Grapher, mycket lättarbetat!
Vi löste också denna ekvation algebraiskt. Idén är att införa en ny variabel, t.ex. a = x^2 och substituera a i ursprungsekvationen. Då fås en "vanlig" andragradsekvation som man löser. Slutligen substituerar man tillbaka x och löser dessa mini-ekvationer. Det ger fyra lösningar, se grafen.

måndag, mars 04, 2013

Räknestuga på gång!

Det är en hel del som händer också på universitetet, jag har inte skrivit speciellt om det på ett tag. I morgon har jag i alla fall en rolig räknestuga med studenter som blir lärare i åk. 1-6. Vi kommer att att repetera lite geometri och statistik, är tanken. Vi får se vad studenterna själva har tänkt... allt kan nämligen ändras om de anser att de har andra behov inför tentamen... Spännande!

Utmaningar, rötter, p och q

Innan sportlovet proppade vi i oss en hel del godsaker med andragradsekvationer och deras lösningar i Ma2c-gänget. Vi tittade på  några olika ekvationer och metoder för att lösa dem på enklaste sätt. Vi härledde också den lösningsformel som brukar kallas "pq-formeln", en ganska mastig portion att sluka precis innan lovet. Mätta släpade vi oss motvilligt hemåt den sista fredagen v. 8...

Nu när vi är pigga och hungriga igen har vi repeterat lite och startat om våra hjärnor. Vi tittade på ett par exempel där man fick tillämpa några av färdigheterna vi har tränat tidigare, t.ex. kvadreringsreglerna.

Ex 1) I en rätvinklig triangel är hypotenusan 4,0 cm längre än den ena kateten. Den andra kateten är 6,0 cm. Vilken omkrets har triangeln?

Dessa utmaningar fick vi ta tag i:
- Förstår vi frågan och uppgiftens innehåll? Vad säger informationen egentligen? Det är flera begrepp vi måste ha bra koll på, t.ex. rätvinklig triangel, katet och hypotenusa.
- Vad vill vi ta reda på? Jo, sidornas längder, d.v.s. den okända kateten och hypotenusan.
- Vilket antagande kan vi göra? Om vi kallar den ena kateten för x, hur vet vi att vi valde "rätt" katet som x? (Detta val spelade ingen roll! Testa själv med en bild och välj x olika!)
- Hur kommer vi framåt? Vilken/vilka beräkningar kan vi göra för att ta reda på x? Jo, vi använder Pythagoras sats och löser en ekvation.
- Har vi rätt förkunskaper? Vi behöver se nyttan med och kunna använda Pythagoras sats och vi behöver kunna utveckla en kvadrat. Vi behöver kunna lösa linjära ekvationer.
- Vilken blir slutsatsen? Svaret? Att knyta ihop säcken är också viktigt. Räcker det att lösa ut x? Nej, kolla frågan igen!

Ex 2) Alma ska sy en duk av ett kvadratiskt tygstycke. Hon syr sedan på ett kantband som är 5 cm brett runt hela duken. Då ökar dukens area med 0,21 m^2. Vilka mått har den färdiga duken?

Här mötte vi också utmaningar, utifrån en problemlösningsstrategi i fyra steg:
- Förstå. Kantband? Arean ökar, vad beror det på? Mått på färdig duk, vad är det? (Sidornas längder på duken!)
- Planera. Vad behöver vi använda för metoder? Vilka beräkningar ska vi göra? Vilka antaganden behöver vi göra? (Rita figurer!) Finns någon ekvation vi kan använda? Vad ska den handla om i sådana fall? (Areor. Duken utan kantband har en area, duken med kantband har en area, kantbandet har en area.)
- Genomför. Utför beräkningarna efter antagandet att tygets sida utan kantband är x cm. Vi tänkte utifrån två bilder: Dels duken utan kantband, en kvadrat med sidan x cm. Dels duken med kantband, en kvadrat med sidan (x+10) cm. Och själva ökningen som är arean på kantbandet.
- Värdera. Formulera svar och kontrollera/bedöm rimligheten med svaret. Här fanns en extra fallgrop: Olika enheter, dels centimeter på kantbandet och dels kvadratmeter på arean.

Vi hann också jobba med en mycket bra gruppaktivitet idag. Utifrån våra lösningar av ett antal andragradsekvationer skrivna på grundformen x^2+px+q=0 kunde vi hitta samband mellan ekvationernas rötter, d.v.s. lösningarna x1 och x2, samt konstanterna p och q. Kolla sammanställningen på tavlan:




torsdag, februari 14, 2013

Mera ekvationssystem

Det är roligt att se att hur olika elever löser samma ekvationssystem. Här är ett exempel på lösning:


Eleven utgick ifrån ekvation I) och multiplicerade den med 2 för att få x-termens faktor till 1. Sedan substituerades den nya ekvationen x=7-3y in i ekvation II). Elegant!
En annan elev löste samma ekvationssystem genom att bryta ut y ur ekvation I) och substituera i ekvation II). Ytterligare en elev löste den med additionsmetoden. Vi är laddade för prov på fredag!

onsdag, februari 13, 2013

Så gick det för Barbie

Nej, Barbie är inte proportionell mot en riktig person. Den slutsatsen kom alla grupper fram till idag på matten. Se föregående inlägg.


tisdag, februari 12, 2013

Bilar vs. Barbie

Är leksaker som bilar och Barbie proportionella avbildningar av verkliga bilar respektive riktiga människor?

Vi ska jobba med skala och proportionalitet i morgon i Ma1a-gänget. Då kommer vi att ta hjälp av sonens leksaksbilar (ja, egentligen makens eftersom dessa lite äldre leksaksbilar har skalan angiven på undersidan! Utom James Bond-bilarna...) och en kollegas barns Barbie-docka.

Undrar just vad vi kommer att dra för slutsatser...

Här är uppgiften!

lördag, februari 09, 2013

Ekvationssystem

Det blev en fullproppad fredag för natur-eleverna i Ma2c. Vi introducerade ekvationssystem och gick igenom precis ALLT (kändes det som). Se själva:


  • Först tittade vi på en vanlig rät linje, eftersom vi har arbetat med räta linjen under en veckas tid. Jag skrev upp en ekvation, y=2x+1, på tavlan och ritade en enkel graf. Vi repeterade, helt enkelt.
  • Sedan studerade vi också en annan linje, y=-0,5x-3, och ritade den i samma koordinatsystem. En elev såg genast att denna linje är vinkelrät mot den första eftersom k-värdena fick produkten -1 Observant! (Kolla själv: 2*-0,5=1)
  • Vi pratade om de räta linjernas ekvationer, att graferna visar på alla kombinationer av x- och y-värden som är lösningar till varje unik ekvation.
  • Så frågade jag om det fanns något x- och y-värde som är lösning till båda ekvationerna samtidigt. En elev såg att detta ges av skärningspunktens koordinater. Mycket bra! Övriga höll med.
  • Vi konstaterade att man alltså kan hitta eventuella lösningar till flera ekvationer, s.k. ekvationssystem, grafiskt genom att hitta skärningspunkterna.
  • Där gick jag över till att presentera också algebraiska metoder. Eftersom båda linjerna var skrivna i k-form fick det bli substitutionsmetoden först. Jag jobbade mot elevernas vilja med bråkform igenom hela lösningen, vilket kändes lite svårt (men nödvändigt!) och vi hittade en lösning.
  • Efter lunchrasten fick eleverna den klassiska uppgiften med bonden och hans djur att arbeta med. Det var förstås lite svårt, men alla lyckades nog formulera någon ekvation som var "sann" i problemet. Vi gick igenom den gemensamt.
  • Allra sist presenterade jag ett ekvationssystem som var lämpligt att lösa med den andra algebraiska metoden, additionsmetoden, och så gick vi igenom hur bonde-uppgiften skulle kunna lösas med additionsmetoden.

Och så var det slut matte för veckan. Innan vi skiljdes åt bad jag eleverna att titta igenom och repetera med några uppgifter i läroboken till på måndag. Det blir spännande att se vad eleverna kommer ihåg då...

onsdag, februari 06, 2013

Hitta π

"Det här gjorde vi ju i femman!" utropade en elev i Ma1a-gruppen när jag hade förberett en laboration med ett antal cirkelformade föremål, lite snöre, sytråd, några linjaler och en sax för att vi skulle studera sambandet mellan omkrets och diameter hos cirklar.



"Jamen, då kommer det här att gå jättefort!" kontrade jag och lät mig inte nedslås av elevernas totala passivitet. "Kom nu och hämta saker och sätt igång!"

Inte en rörelse. Möjligtvis en diskret suck. Jag satte mig vid katedern (jag som nästan aldrig sitter där!). "Jaha, då sitter vi väl och glor på varandra" tyckte jag. "Oj, vad tråkig lektion."

Ännu inget gensvar. Jag blev tvungen att ta till det fulaste knep som en lärare någonsin kan använda:
"Ni får väl sitta där då... men ni får inte närvaro förrän ni börjar jobba." Och så stirrade jag stint ut över klassen.

Nu hände något. Någon smög fram och tog några saker. Sedan följde de andra raskt efter. Några fula ord svävade runt i rummet, men alla jobbade. Och vilket fint resultat vi fick upp på tavlan!



Visst, jag fick tvinga eleverna och leda dem fram till slutsatsen att kvoten mellan omkretsen och diametern hela tiden blir ≈ 3 och påminna dem om att vi ju känner till ett tal som används när man beräknar omkretsar och areor av cirklar, nämligen π som faktiskt "uppfanns" på precis det här sättet. Ingen i klassen blev särskilt imponerad eller fascinerad av den otroligt coola upptäckten...

"Vi hinner aldrig räkna i boken..." muttrade någon.

Och visst, om engagemanget är lika med noll när vi ska göra en aktivitet så tar det onödigt lång tid. Även om någon elev gjort en aktivitet i femman kan det finnas en finess med att testa igen, vi kan komma fram till fler slutsatser vid arbetet, t.ex. introducera andra begrepp än diameter, såsom korda, eller diskutera vilken enhet O/d har, eller fundera över vikten av noggrannhet vid mätning m.m. 

GE MATTEN EN CHANS, SNÄLLA ELEVER! (Kommentarer emottages tacksamt av desperat fröken!)



fredag, februari 01, 2013

Kvadratmeter

Tidigare i morse fick Ma1a-gänget fundera över hur stor en kvadratmeter är. Med hjälp av sax, tejp, halvcentimeter-rutat papper (=vanligt rutat papper) och färgat A3-papper fick eleverna parvis tillverka ett avgränsat område på en kvadratmeter. De allra flesta valde att göra en kvadrat med sidan 1 meter, men en tjej som jobbade ensam vågade sig på att göra en triangel. Vi diskuterade och hon kom fram till att basen skulle vara 2 meter och höjden 1 meter för att vi skulle få ihop till 1 kvadratmeter.

Hon - och flera andra elever - klippte först till en "linjal" på 25 cm av det rutade papperet. Sedan klippte hon långa remsor av färgat papper med hjälp av "linjalen". 8 st 25-cm-bitar behövdes för basen och 4 st för höjden. De två övriga sidorna fick vi bara klippa hur som helst så att de blev lagom långa. Det blev en jättefin triangel på klassrumsgolvet.

Några grupper upptäckte att de hade tejpat ihop för många papper, så de fick mäta med min "fusk-tumstock" och klippa bort. De gjorde väldigt tjusiga kvadrater. En satte vi upp på klassrumsväggen.

På måndag återkopplar vi och funderar på hur många kvadratdecimeter man behöver för att täcka en kvadratmeter... Då ska vi omvandla mellan olika enheter. Roligt!

Funktionstävling!

Idag fick naturarna tävla på matten. Ur läroboken (Matematik 5000 kurs 2c) hade jag kopierat upp en riktigt bra aktivitet som vi genomförde som lagtävling. Fem mot fem fick Gröna respektive Gula laget 28 lappar vardera som beskrev totalt sju olika funktionssamband.

7 st visade en graf, 7 st beskrev en formel, 7 st visade en värdetabell och 7 st beskrev funktionen med ord. Alla lappar var blandade och lagen skulle snabbast ordna rätt graf till rätt värdetabell, funktion och funktionsbeskrivning. Allt skulle klistras upp på stora papper och snabbast/mest rätt vann!

Gruppdiskussionerna blev mycket bra och så här såg det ut under arbetets gång och vid resultatredovisningen. Gula laget vann, grattis!








tisdag, januari 22, 2013

Ärtskidor och algoritmer

Vilken härlig lektion vi hade på temat "Binära tal och tal i andra baser". Studenterna verkade ganska lätt kunna jämföra vårt decimala talsystem - tiobassystemet - med andra positionssystem, t.ex. det binära talsystemet, vilket också är hela poängen. Om vi förstår vårt talsystem och hur det är uppbyggt kan vi använda kunskaperna för att förstå andra talsystem som också bygger på positioner där varje position beskrivs som en potens av en viss bas. Det finns en liten film om det binära talsystemet här i bloggen.

Ett par viktiga slutsatser:
  • Bas och antal siffror hänger ihop
I vårt decimala talsystem (våra "vanliga" tal alltså) finns tio siffror, nämligen 0-9. I det binära talsystemet som har basen två finns två siffror, 0-1. I basen sex finns sex siffror, 0-5 o.s.v.
  • Positionernas värden representerar potenser av den aktuella basen
Man får tänka på positionerna i ett tal från höger till vänster. I vårt decimala talsystem har vi entalssiffra, tiotalssiffra, hundratalssiffra o.s.v. när vi tittar på talen från höger till vänster. I andra talsystem har man också entalssiffra längst till höger som betyder "basen upphöjt till noll"och sedan kommer positionerna med värden "basen upphöjt till två", "basen upphöjt till tre" o.s.v. Det finns bra information om talbaserna på Wikipedia.

Några exempel på vad studenterna diskuterade:

  1. Ett par studenter - en slöjdlärare och en bildlärare - kom på ett sätt att arbeta konkret och laborativt med subtraktion av tal i basen sex. Idén, som jag hoppas att de utvecklar vidare, var att tillverka någon typ av "ärtskidor" som bara skulle rymma fem ärtor vardera och där skidornas position visar på platsvärdena (6^0, 6^1, 6^2 o.s.v.). En mycket intressant diskussion kring hur man ska växla emellan positionerna för att utföra en subtraktion uppstod!
  2. En student - SO-lärare - undrade om det inte fanns talsystem för tal i baser större än tio. Vi pratade lite ytligt om det hexadecimala talsystemet, där basen är 16 och då man alltså behöver 16 "symboler", siffrorna 0-9 samt bokstäverna A-F. Här är en omvandlare för den intresserade.
  3. Flera studenter - bl.a. ett par svensklärare - blev extremt snabbt skickliga på att använda våra vanliga algoritmer för addition och subtraktion, d.v.s. de klassiska "uppställningarna", också för tal i andra baser. Hur festligt som helst!
Med detta som resultat av vår första lektion tillsammans ser jag verkligen fram emot sannolikhetsläran på torsdag.

måndag, januari 21, 2013

Förberedd på att få fingret

I morgon träffar jag de nya studenterna på kursen May 2 (Matematik för Yngre åldrar, del 2) som jag har förmånen att ännu en gång få vara delaktig i. Det kommer att handla om binära tal och tal i andra baser, vilket blir intressant och roligt. Nu har jag förberett mig genom att uppdatera en presentation i Notebook.

Den sista bilden i presentationen är helt enkelt ett ganska "fult" tecken som det händer att unga människor gör när de blir arga: De knyter näven, men sträcker upp sitt långfinger... har någon sett det göras? Nåväl, min presentation slutar på detta något provocerande sätt. Varför?

Om jag ger er ledtråden "Binära tal på fingrarna" som är en liten film i ämnet som finns här i bloggen så kommer ni att inse att denna gest inte alls är så värst uppkäftigt. Nästa gång du får fingret av en elev, bli inte så upprörd. Det är ju bara ett tal... men vilket?

tisdag, januari 08, 2013

Igång!

Båda jobben är igång! På gymnasiet hade vi studiedag igår där några engagerade kollegor berättade om den Harvardkurs, Teaching for Understanding, som de studerat på distans under terminen. Intressant och med tydliga kopplingar till Lgy2011.

På universitetet kom vi igång idag med en förmiddag fylld av väldigt bra redovisningar av en grupp studenter som varit på lång praktik under hösten. Flera riktigt bra högstadie- och gymnasielärare kommer att finnas på arbetsmarknaden om något år, kan jag lova! Jag hann också med att umgås ett par timmar med de härliga grundskollärarna på en av våra tre s.k. räknestugor inför tentamen. Geometri var temat.

Vi fastnade på en bråkuppgift där studenterna skulle konstruera egna uppgifter lämpliga för mellanstadiet med olika matematikinnehåll men där svaret hela tiden skulle bli 3/4. Det gick bra att konstruera uppgifter på temat "summan av två bråk", "sannolikheter", "förhållande" eller "ekvation", men vi körde huvudena i väggen när vi skulle konstruera en uppgift om "skala".

Min första tanke var att man kan göra en uppgift där eleverna ska ta reda på skalan vid någon förminskning, t.ex.
Uppgift: Gunnar är 200 cm lång och tillverkar en skalenlig docka av sig själv (fråga inte varför!) som är 150 cm lång. Vilken skala är dockan tillverkad i?
Lösning: Eleven måste veta att skalan är densamma som förhållandet mellan avbildningen och verkligheten, alltså 150/200 som kan förkortas till 3/4. Skalan är 3:4 som betyder samma sak som 3/4. Svar: Skalan är 3/4.

Studenterna reagerade direkt på att elever i mellanstadiet troligtvis inte är förtrogna med sambandet mellan skala och förhållande. De påpekade också att skala normalt anges med 1: "något tal"vid förminskning respektive "något tal":1 vid förstoring. Inte 3:4.

Det skulle man komma runt om man förkortar "skal-bråket" 3:4 med 3 i täljare (vänster) och nämnare (höger). Vi får då 3/3:4/3 som förenklat skrivs 1:4/3, en skala som inte alls är lätt för eleverna att hantera.

Så, kan någon komma på en uppgift på temat "skala" som har svaret 3/4? Skicka gärna kommentar!