Ärtskidor och algoritmer

Vilken härlig lektion vi hade på temat "Binära tal och tal i andra baser". Studenterna verkade ganska lätt kunna jämföra vårt decimala talsystem - tiobassystemet - med andra positionssystem, t.ex. det binära talsystemet, vilket också är hela poängen. Om vi förstår vårt talsystem och hur det är uppbyggt kan vi använda kunskaperna för att förstå andra talsystem som också bygger på positioner där varje position beskrivs som en potens av en viss bas. Det finns en liten film om det binära talsystemet här i bloggen.

Ett par viktiga slutsatser:

• Bas och antal siffror hänger ihop

I vårt decimala talsystem (våra "vanliga" tal alltså) finns tio siffror, nämligen 0-9. I det binära talsystemet som har basen två finns två siffror, 0-1. I basen sex finns sex siffror, 0-5 o.s.v.

• Positionernas värden representerar potenser av den aktuella basen

Man får tänka på positionerna i ett tal från höger till vänster. I vårt decimala talsystem har vi entalssiffra, tiotalssiffra, hundratalssiffra o.s.v. när vi tittar på talen från höger till vänster. I andra talsystem har man också entalssiffra längst till höger som betyder "basen upphöjt till noll"och sedan kommer positionerna med värden "basen upphöjt till två", "basen upphöjt till tre" o.s.v. Det finns bra information om talbaserna på Wikipedia.

Några exempel på vad studenterna diskuterade:

1. Ett par studenter - en slöjdlärare och en bildlärare - kom på ett sätt att arbeta konkret och laborativt med subtraktion av tal i basen sex. Idén, som jag hoppas att de utvecklar vidare, var att tillverka någon typ av "ärtskidor" som bara skulle rymma fem ärtor vardera och där skidornas position visar på platsvärdena (6^0, 6^1, 6^2 o.s.v.). En mycket intressant diskussion kring hur man ska växla emellan positionerna för att utföra en subtraktion uppstod!
   
2. En student - SO-lärare - undrade om det inte fanns talsystem för tal i baser större än tio. Vi pratade lite ytligt om det hexadecimala talsystemet, där basen är 16 och då man alltså behöver 16 "symboler", siffrorna 0-9 samt bokstäverna A-F. Här är en omvandlare för den intresserade.
   
3. Flera studenter - bl.a. ett par svensklärare - blev extremt snabbt skickliga på att använda våra vanliga algoritmer för addition och subtraktion, d.v.s. de klassiska "uppställningarna", också för tal i andra baser. Hur festligt som helst!

Med detta som resultat av vår första lektion tillsammans ser jag verkligen fram emot sannolikhetsläran på torsdag.

Förberedd på att få fingret

I morgon träffar jag de nya studenterna på kursen May 2 (Matematik för Yngre åldrar, del 2) som jag har förmånen att ännu en gång få vara delaktig i. Det kommer att handla om binära tal och tal i andra baser, vilket blir intressant och roligt. Nu har jag förberett mig genom att uppdatera en presentation i Notebook.

Den sista bilden i presentationen är helt enkelt ett ganska "fult" tecken som det händer att unga människor gör när de blir arga: De knyter näven, men sträcker upp sitt långfinger... har någon sett det göras? Nåväl, min presentation slutar på detta något provocerande sätt. Varför?

Om jag ger er ledtråden "Binära tal på fingrarna" som är en liten film i ämnet som finns här i bloggen så kommer ni att inse att denna gest inte alls är så värst uppkäftigt. Nästa gång du får fingret av en elev, bli inte så upprörd. Det är ju bara ett tal... men vilket?

Igång!

Båda jobben är igång! På gymnasiet hade vi studiedag igår där några engagerade kollegor berättade om den Harvardkurs, Teaching for Understanding, som de studerat på distans under terminen. Intressant och med tydliga kopplingar till Lgy2011.

På universitetet kom vi igång idag med en förmiddag fylld av väldigt bra redovisningar av en grupp studenter som varit på lång praktik under hösten. Flera riktigt bra högstadie- och gymnasielärare kommer att finnas på arbetsmarknaden om något år, kan jag lova! Jag hann också med att umgås ett par timmar med de härliga grundskollärarna på en av våra tre s.k. räknestugor inför tentamen. Geometri var temat.

Vi fastnade på en bråkuppgift där studenterna skulle konstruera egna uppgifter lämpliga för mellanstadiet med olika matematikinnehåll men där svaret hela tiden skulle bli 3/4. Det gick bra att konstruera uppgifter på temat "summan av två bråk", "sannolikheter", "förhållande" eller "ekvation", men vi körde huvudena i väggen när vi skulle konstruera en uppgift om "skala".

Min första tanke var att man kan göra en uppgift där eleverna ska ta reda på skalan vid någon förminskning, t.ex.
Uppgift: Gunnar är 200 cm lång och tillverkar en skalenlig docka av sig själv (fråga inte varför!) som är 150 cm lång. Vilken skala är dockan tillverkad i?
Lösning: Eleven måste veta att skalan är densamma som förhållandet mellan avbildningen och verkligheten, alltså 150/200 som kan förkortas till 3/4. Skalan är 3:4 som betyder samma sak som 3/4. Svar: Skalan är 3/4.

Studenterna reagerade direkt på att elever i mellanstadiet troligtvis inte är förtrogna med sambandet mellan skala och förhållande. De påpekade också att skala normalt anges med 1: "något tal"vid förminskning respektive "något tal":1 vid förstoring. Inte 3:4.

Det skulle man komma runt om man förkortar "skal-bråket" 3:4 med 3 i täljare (vänster) och nämnare (höger). Vi får då 3/3:4/3 som förenklat skrivs 1:4/3, en skala som inte alls är lätt för eleverna att hantera.

Så, kan någon komma på en uppgift på temat "skala" som har svaret 3/4? Skicka gärna kommentar!