Nygammal utmaning & nytta eller onytta med digitala verktyg

Nu är jag tillbaka i gymnasieskolan som lärare i matematik och samhällskunskap efter några spännande och lärorika år på lärarutbildningen. Det är oerhört roligt att undervisa i mina "riktiga" ämnen, även om jag här i bloggen givetvis fokuserar på matematiken. Efter en hektisk höstterminsstart går vi mot ett hektiskt höstterminsslut och jag undrar när jag egentligen kommer att ta mig tid att lägga ut något här... Så detta får bli ett första, trevande försök.

På en lektion i Matematik 3b tidigare i veckan ville jag i slutet av lektionen visa hur det går till när man skriver andragradsfunktioner i faktorform. Exemplet var givetvis inte särskilt väl valt, vilket resulterade i att vi inte fick nollställen som kunde ges som heltal. Visst är roten-ur-tecken vackra och närmevärden smarta, men jag upplevde att eleverna inte riktigt kunde se det tjusiga med faktorformen p.g.a. mitt dåligt valda exempel. När lektionen var slut stannade jag kvar i salen och spelade snabbt in en film med ett bättre valt exempel och kunde sedan lägga ut den till eleverna. En enkel film, inspelad med datorns "kamera"-funktion, oredigerad. Alltså en klassisk "fulfim". Men tydligare än exemplet på lektionen. Nu återstår att eleverna också kollar på klippet så att de får del av det fina exemplet. Men hittills är det inte många visningar, dessvärre.

Här är alltså nyttan med digitala verktyg stor å ena sidan. Som lärare kan jag snabbt justera för ev. otydligheter eller rena fel från lektionen genom att förtydliga eller korrigera i en kort film. Det är både snabbt och effektivt. Men å andra sidan, och detta "men" är väldigt viktigt i den här frågan, om inte eleverna tittar på klippet så försvinner ju nyttoaspekten helt. Istället blev filminspelningen enbart ett enda slöseri med min tid och därmed direkt onytta (som vi skulle säga i Norrland).

Hur ska jag resonera?

Problemlösning - Kombinatorik

Här är en uppgift som jag har använt ibland i samband med att jag har undervisat om kombinatorik i F-3-programmet och ULV-projektet F-6. Då har jag inte formulerat den skriftligt, utan bara slängt ut den som en diskussionsfråga i slutet av passet när vi har jobbat med strukturen hos olika vanliga kombiantorik-uppgifter. Uppgiften passar som problemlösningsuppgift för högstadieelever, beroende på förkunskaper.

Senaste filmklippen - Samband & Grafer

Ingen människa kan ju hålla reda på vilka filmklipp jag länkar in här i bloggen, men det går ju bra att hitta dem via YouTube-kanalen, förstås. Men de senaste är nog dessa. En kommer från en kvällskurs om Mönster och samband, en rask genomgång av innehållet från seminariet och den andra var riktad till en student som läser in Ma2a på gymnasiet på egen hand och som hade en fråga kring en uppgift i kursen.

I den första filmen gör jag ett fel som en student sedan uppmärksammade mig på. Pinsamt, men jag har placerat påse F fel, se ca 17:50 in i klippet! Korrekt resonemang om jämförelsepriset på F som är samma som B, men själva påsen ska placeras utifrån den vikt och det pris den har, mitt emellan A och D i x-led och högre än C i y-led.

Det är säkert något som inte är helt matematiskt korrekt i min förklaring i den här filmen om grafer och hur man med hjälp av dem kan hitta lösningen till f(x)=g(x) också, det är lurigt när man pratar på och försöker använda korrekta begrepp men inte lyckas fullt ut. Ha överseende och hör av er om det är helt bort-i-tok, så att säga.

Intressanta samtal - Utfall och utfallsrum

Nu är jag där igen. Missar att lägga ut alla de fiffiga tips och idéer och förslag som jag hela tiden får på jobbet. Främst är det i undervisningssituationerna som de kommer. Från studenter. Det kan vara en idé till en aktivitet att utföra med elever eller bara en utmanande fråga, men det som kännetecknar tipsen är att de alltid leder till givande samtal med studenterna.

Ett exempel på ett sådant givande samtal ledde till den här anteckningen som jag delade med studenterna i kursen:

Utfall är som vi tidigare har sagt alla olika möjligheter, d.v.s. det som kan hända, i ett slumpförsök. Vid tärningskast gäller att tärningens olika sidor, 1, 2, 3, 4, 5 och 6, representerar de olika utfallen. I ett lotteri har vi bara utfallen vinst eller nit. Här handlar det om olika "sorter" på resultaten i ett slumpförsök.

Men sedan skiljer sig dessa båda exempel åt vad gäller utfallsrummen.

Utfallsrum definieras som "mängden av alla möjliga utfall i ett försök". När det gäller vår sexsidiga tärning så är utfallsrummet detsamma som alla utfall tillsammans, d.v.s. utfallsrummet innehåller en av varje av tärningssidorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Men i lotteriet kan utfallsrummet se olika ut beroende på antal vinst- respektive nit-lotter. I ett lotteri med 10 lotter varav 1 vinst skulle utfallsrummet bestå av alla dessa utfall, d.v.s. vinst, nit, nit, nit, nit, nit, nit, nit, nit och nit, alltså 1 vinst och 9 nit. I ett annat lotteri kanske det finns 100 lotter med 1 vinst och 99 nit. Utfallsrummet måste visa på dessa fördelningar eftersom utfallsrummets utseende påverkar sannolikheterna för de olika utfallen i ett försök. Här handlar det om hur många det finns av varje "sort" i ett slumpförsök.

Vi tittade på olika utfallsrum på lektionen Sannolikhet 1. Då var det fyra olika skålar med kulor, gröna och orangea, där det var olika utseende på utfallsrummen. Och dessa påverkade också möjligheterna att t.ex. slumpvis dra en grön kula. Om det finns lika många gröna som orangea kulor, d.v.s. likformig fördelning, så ger det en annan sannolikhet att slumpvis dra en grön kula än om det finns 2 orangea kulor för varje grön kula i skålen. Gå gärna in och kolla i den kladdade versionen av presentationen, jag har skrivit fler kommentarer (med grönt) efter lektionerna, för att hjälpa er.

Bara så att vi alla är klara med vad vi menar med utfallsrum, så kan ni lugnt slappna av och strunta i hur man med olika "parenteser", {grön, orange, orange}, skriver detta med matematiska symboler. Det är knappast meningsfullt för er att fastna i dessa detaljer, utan om ni har förstått att utfallsrummens utseende vad gäller antalen av de olika utfallen är viktigt, eftersom inte alla slumpförsök har likformig sannolikhetsfördelning (som tärning, alla sidor har samma chans), så är det absolut tillräckligt för vad vi behöver förstå och även behöver få eleverna att upptäcka så att de inte fastnar i det missförstånd som jag har sett bland gymnasieelever, t.ex. som framgår av det andra exemplet nedan:

Ex. 1: I en kulpåse finns en röd, en grön och en blå kula. Sannolikheten att slumpmässigt dra en röd är 1/3. Det är korrekt. (Här är det mycket riktigt en likformig sannolikhetsfördelning, d.v.s. alla utfall har samma sannolikhet i ett slumpförsök.)

Ex. 2: I en kulpåse finns tre röda, en grön och en blå kula. Sannolikheten att slumpmässigt dra en röd är 1/3. Det är inte korrekt. Men vissa elever motiverar denna missuppfattning med att säga: Det finns tre färger. Då har man 1/3 chans att få röd. (Har inte förstått vad icke likformig sannolikhetsfördelning innebär.)

Den här missuppfattningen skulle leda till att man också tror att det är lika stor chans att få vinst som nit i ett lotteri, för det finns bara två utfall. Och detta är ju inte alls särskilt troligt, det vet vi ofta av egen erfarenhet...

Alltså: Strunta i hur man skriver utfallsrummet "matematiskt" och jobba för att förstå vad det får för effekt för vår förståelse av sannolikhetsbegreppet istället.

Lycka till!

/Monica